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2010 年度 実績報告書

アフィン量子群のレベル・ゼロ表現の結晶基底の代数的サイクルとしての実現

研究課題

研究課題/領域番号 20540006
研究機関筑波大学

研究代表者

内藤 聡  筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 准教授 (60252160)

研究分担者 竹山 美宏  筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (60375392)
佐垣 大輔  筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (40344866)
キーワードMirkovic-Vilonenサイクル / Mirkovic-Vilonen多面体 / Berenstein-Zelevinsky datum / 結晶基底 / アフィン・リー環 / 量子群
研究概要

複素半単純リー環gに付随する量子群の下半三角部分U_{q}^{-}(g)の結晶基底であるB(∞)の幾何学的実現として、gをリー環とする連結な複素半単純代数群(のLanglands双対群)に付随するアフィン・グラスマン多様体の中のMirkovic-Vilonen(MV)サイクル(と呼ばれる、有限次元部分代数多様体)によるものが知られている。このMVサイクルのモーメント写像による像として定義されるMV多面体(と呼ばれる、ユークリッド空間内の有限個の頂点を持つ凸多面体)は、edge不等式とtropical Plucker関係式で特徴付けられるある種の非正整数の(整ウエイトの集合により添字付けられる)組であるBerenstein-Zelevinsky(BZ)datumによりパラメトライズされる。実際、このBZ datum全体の成す集合上には(抽象)クリスタルの構造が入り、それによってB(∞)と同型なクリスタルが得られる事が証明されている。
我々は、gが(もはや有限次元半単純リー環ではない)A型アフィン・リー環の場合に、上記のBZ datumの類似物を具体的に構成し、その全体の成す集合上に(抽象)クリスタルの構造が入る事を示した。この為には、先ず、nが自然数の全体を動く時にA_{n}型のBZ datum全体の集合が成す帰納系を考え、その極限集合を取る。それから、この極限集合の元であってさらにある周期性条件を満たすものとして、A型アフィン・リー環の場合のBZ datumの類似物が定まるのである。
我々が得た重要な結果の一つとして、このクリスタルのクリスタル・グラフが連結である事が挙げられる。我々はさらに、この連結性を利用して、上述の様にして具体的に構成したクリスタルが、A型アフィン・リー環(のLanglands双対)に付随する量子群の下半三角部分の結晶基底とクリスタルとして同型である事を証明する事が出来た。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2011 2010

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (1件)

  • [雑誌論文] Polytopal estimate of Mirkovic-Vilonen polytopes lying in a Demazure crystal2011

    • 著者名/発表者名
      S.Kato, S.Naito, D.Sagaki
    • 雑誌名

      Adv.Math.

      巻: VOL.226 ページ: 2587-2617

    • 査読あり
  • [学会発表] Tensor products and polytopal estimates of Mirkovic-Vilonen polytopes2010

    • 著者名/発表者名
      内藤聡、加藤周、佐垣大輔
    • 学会等名
      The 5th International Conference on Representati on Theory
    • 発表場所
      西安(中華人民共和国)(招待講演)
    • 年月日
      2010-08-09

URL: 

公開日: 2012-07-19  

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