| 研究概要 |
(1)スカラー型の一般化されたVerma加群の間の準同型の分類は研究代表者の研究によって一次元表現からの誘導表現であるようなスカラー型と言われる場合には 極大放物型部分群の場合に問題が解決されると同時に一般的な放物型部分群に対応するような場合にも組織的に準同型が構成された。そこで、一般的な放物型部分群に対しては上述のやり方で構成された準同型で全てが尽くされるかどうかということが問題になる。スカラー型の場合に問題の解決を目指したい
(2)一般化されたVerma加群の完備化を考えその中により複雑な対象であるWhittaker加群を構成するというKostant-Lynchのアイデアがあるが研究代表者はこのアイデアを整備し、いくつかの基本的な性質を確かめたのち応用として、Harish-Chandra加群のWhittaker dualについての基本的な結果を得ていた。一方Lynchは学位論文においてKostantの結果をより一般的な状況に拡張し戸田格子の量子化の一般化とでも言うべき非可換代数を得た (有限W代数)。有限W代数の既約加群と既約Whittaker加群は自然に対応する。長い間、有限W代数の意義は不明であったが近年になりAffine Lie代数に付随する W-代数と密接な関連があることが指摘され多くの研究者の興味を引くようになって来ている。A型の場合はBrundan,-KleshchevによKostant-Lynchのアイデアによって全ての既約Whittaker加群が得られることがわかっているが、それ以外の場合には、研究代表者によって得られた反例などがあり事情は複雑である。このテーマについて2つ取り組みたい問題がある。まずはA型以外の場合に任意の既約Whittaker加群を一般化されたVerma加群の完備化の中に実現できるかという問題である。もう一つは以下のような問題である。連続Whittaker vectorの空間は有限W-代数の加群になることが知られていた。 そこで、古典的な重複度1定理の自然な一般化として連続Whittaker vectorの空間は有限W-代数加群として既約であるという予想が出てくる。研究代表者はこの予想がA型の群などで肯定的であることを示した。この方向の研究も推し進めたい。
|
