| 研究概要 |
当該年度は、主として次の3つの結果を得た。
1. "X=K"予想の解決
アフィンリー環とそれに付随するKRクリスタルの組が与えられたとき、1次元状態和といわれる多項式が定義される。アフィンリー環のランクが大きい時には、A型以外の非例外型KRクリスタルから定義される1次元状態和が、A型の1次元状態和にリトルウッド・リチャードソン係数をかけたものの和で書けるというShimozono氏による"X=K"予想があった。この予想を、そこに現れるKRクリスタルの組が最も一般的な場合にLecouvey氏とShimozono氏との共同研究で証明した。この結果により、非例外型の1次元状態和がルスティックのウェイト重複度のqアナログの放物型版に一致することも証明される。
2. KRクリスタルのテンソル積B^{r, k}xB^{1, 1}の組合せ論的R行列の像およびエネルギー関数の値の決定
アフィンリー環の型がD_n^{(1)},B_n^{(1)}およびA_{2n-1}^{(2)}で、KRクリスタルのテンソル積がB^{r, k}xB^{1, 1}の場合に最高ウェイト元に対して、組合せ論的R行列の像とエネルギー関数の値を坂本氏とともに明示的に求めた。この結果は箱玉系といわれる超離散可積分系に応用をもつことが期待される。
3. G_2^{(1)}型KRクリスタルの座標表示とO作用
Misra氏、Mohamad氏とともに、アフィンリー環が例外型のG_2^{(1)}に付随するKRクリスタルの系列に対して、その元を座標で表示し、O柏原作用素の作用をその座標を使って明示的に求めた。また、このすべてのレベルのKRクリスタルの族が、完全結晶の連接族をなすことを示した。これらの結果は、研究代表者らが以前行ったD_4^{(3)}に付随するKRクリスタルの研究の応用として得られたものである。
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