|
研究代表者の星野は大学院生時代に博士論文の作成指導を行った阿部(筑波大学・教育研究科・準研究員)との共同研究によって、以下の結果を得た。(1)ネター多元環で基礎環上の加群と見たときのサポートに属する任意の素イデアルで局所化したとき.、基礎環がゴレンシュタイン局所環になるものを扱う。さらに、基礎環の極小移入分解をHomで係数拡大した鎖複体のホモロジーがc番目を除いてすべて消滅しているとする。このとき、先ず、生き残ったc番目のホモロジーについて、それが右加群として射影的生成加群であることと、左加群として射影的生成加群であることどは同値であることを示した。次に、上の同値条件が充たされるとき、その多元環は後藤・西缶の意味でのゴレンシュタイン多元環(余次元cのゴレンシュタイン多元環と呼ぶことにする)となることを示した。(2)代数幾何におけるセール双対の概念をネター多元奏の場合に拡張し、ネター多元環で基礎環上の加群と見たときクルル次元有限でかつサポートに属する任意の素イデアルで局所化したとき、基礎環がゴレンシュタイン局所環になるものに対して、それが左右でセール双対を持つことと左右で有限の自己移入次元を持つ(これをゴレンシュタイン性の定義とする流儀もある)こととが同値であることを示した。(3)余次元cのゴレンシュタイン多元環上の与えられた傾斜鎖複体に対して、その準同型多元環がまた余次元cのゴレンシュタイン多元環になるための必要十分条件を与えた。特に、余次元cのゴレンシュタイン多元環のクラスは導来同値の下で閉じていないが、生き残ったc番目のホモロジー両側加群としてもとの多元環と同型なもめに限れば導来同値の下で閉じていることを示した。
非可換代数幾何(いろいろな流儀がある)においては本研究課題に非常に近い研究が活発に行われている。その意味で、本研究は多元環の表現論以外の分野からも注目される。
|
