| 研究概要 |
本年度は主に,昨年度までの射影多様体の非双有理中心点の研究から着想した,二重点因子の豊富性の問題を考察し,そのために,一般内点からの線形射影が例外因子を持つ射影多様体を分類した.射影多様体の双有理中心点とは,その点からの線形射影により,射影多様体が像と双有理にならない中心点のことである.射影多様体が非特異な場合に,二重点因子とは,Hを超平面切断因子,Kを標準因子とするとき,因子(d-n-2)H-Kのことである.一ただし,dは多様体の次数,nは多様体の次元を表す.これまでに,Mumfordにより,この因子は固定点を持たないことが知られていた.昨年度までの研究で,非双有理中心点でない射影多様体の点を一つ選ぶと,それに対し十分一般の内点が張る線形部分空間からの線形射影は,選ばれた点で埋め込みとなることがわかっていた.本研究では,この線形射影を用いて,(d-n-2)の部分を小さく取り替えるアイデアで,問題を考察した.始めに「非特異な射影多様体で,m個の一般内点からの線形射影が例外因子を持たないとすると,二重点因子の一種(d-n-2-m)H-Kの固定点は,非双有理中心内点の集合に含まれる」ことを示した.昨年度までの研究により,非双有理中心内点をもつ射影多様体の特徴付けがあるので,一般内点からの線形射影が例外因子を持つ場合の分類が主な問題となる.この問題を非特異とは限らない射影多様体に対し考察し,分類を得ることができた.この結果,いくつかの場合を除くと,非特異射影多様体に対し(d-n-e-1)H-Kは高々有限個の固定点を持ち,(d-n-e)H-Kは豊富であることが証明できた.ここで,eは射影多様体の余次元を表す.応用として,未解決問題regularity予想の一部をなす,「非特異射影多様体の構造層のregularityは,d-e以下である」ことが証明できた.
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