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本研究の目的は同型でない(つまり、非自明な)自己準同型写像を数多く持つ射影代数多様体の構造を、代数多様体の分類論の視点から解明することである。我々の研究対象は複素力学系のように写像でなく、多様体の構造そのものである。それは、アーベル多様体やトーリック多様体を含むクラスであり、非常に簡明な構造を持つと予期できる。
非自明な自己準同型写像を持つ高次元代数多様体の分類には、自己準同型写像により保存されるデーターを見つけることが不可欠である。私は中山昇氏(数理研)との共同研究で以下の定理を証明した。定理:Rを非自明な自己準同型写像f:X→Xを持つ射影代数多様体X上の端射線で、収縮写像が双有理でない(即ち、Xより次元の低い多様体の上の森ファイバー空間の構造を持つ)と仮定する。このとき、Rはfの適当な反復合成の下で保存される。
これを利用して、小平次元が負の3次元射影代数多様体で非自明なエタール自己準同型写像を持つクラスの研究をし、多様体の候補の絞込みにはほぼ成功した。難点は端射線の収縮写像が双有理写像ならば、端射線が写像の反復合成で保存されず、極小モデルプログラムが自己準同型写像の範疇で機能しないことである。この問題点の克服が当面の課題である。
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