| 研究概要 |
以下の分割定理を証明した。Mをアレキサンドロフ空間、μをその上の正値ラドン測度とする。1上のある実数Nに対して、μが条件BG(0,N)をみたし、Mが直線を含むならば、ある距離空間M'が存在してMはM'と実数直線との直積空間に同相である。ここで、条件BG(0,N)とは、Bishop-Gromov型の体積の比較条件の無限小版であり、リッチ曲率が非負であることの一般化である。アレキサンドロフ空間においては、リッチ曲率テンソルが定義できないので、その代わりとして条件BG(0,N)を仮定した。この定理はCheeger-Gromollの分割定理の一般化である。
CheeggrとColdingはリッチ曲率がほとんど非負であるようなリーマン多様体の極限空間に対して、分割定理を証明したが、ここでの我々の目標の一つは、これの内部的(intrinsic)か証明である。Mをより一般の空間に拡張し、結論を等張同型とできれば、それが達成される。
今年度、もう一つの成果として以下を証明した。Miを非負リッチ曲率をもつリーマン多様体の列とし、その直径が有界であると仮定する。このとき、あるkに対して、ラプラシアンの第k固有値が無限大に発散するならば、第1固有値も無限大に発散する。ここで、リーマン多様体Miの次元が有界のときは以前に知られていた結果から従う。次元が無限大に発散するときが新しい結果であり、証明には測度集中を用いる。証明は以下のよりに行う。まず、リッチ曲率の条件を仮定せず、第k固有値が無限大に発散して第k-1固有値が有界と仮定するとき、Miの部分列が異なるk-1個の点からなる測度距離空間へ(Gromovの意味で)集中することを示す。さらに、Miのリッテ曲率か非負のとさ、集中極限が連結となることを示す。これにより上記の定理が従う。
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