| 研究概要 |
当研究代表者は今年度,主に接触リーマン多様体上のKohn-Rossi Laplacianに付随する熱核のトレースの漸近展開係数の研究に取り組んだ。
CR-多様体では概複素構造の可積分性を仮定するのに対して,その仮定を課さない多様体を接触リーマン多様体と呼ぶ。本研究ではCR-多様体上での漸近展開係数の研究が当初の目的であったが,一般断熱展開理論の観点からはそれより一般的な接触リーマン多様体上での研究が不可欠であることが判明した。未解明な点の多い後者におけKohn-Rossi Laplacianについても,熱核が存在しトレースは漸近展開できることは判明したが,最終的に漸近展開係数を曲率係数や捻れ係数の普遍多項式として明示できるまでには至っていない。その他現状での重要な結果をいくつか列挙しておくが,(2)の公式に基づいて一般断熱展開理論を構築しつつあり今年度の当研究は最終段階にある。
(1)Tanaka-Webster接続の新拡張:CR-多様体上ではTanaka-Webster接続が重要な役割を果たし,接触リーマン多様体上ではそれの拡張であるTanno接続の研究があるが,Tanno接続は概複素構造との可換性が無く当研究の道具としては不都合な面がある。当代表者は概複素構造と可換な新しい接続を導入し,それの持つ基本的性質について考察した。(2)Kohn-Rossi LaplacianのWeitzenbock-type公式:CR-多様体上でのその公式はよく知られている。新接続を使い,接触リーマン多様体上でも全く同様の公式を得た。そこに現れる枠や曲率係数,捻れ係数のテーラー展開の係数達については充分に詳細な記述を得ている。
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