| 研究概要 |
正定値計量を備えた多様体はリーマン多様体と呼ばれ,計量が不定値の場合は擬リーマン多様体と呼ばれる.擬リーマン幾何学における等質性に関わり次のような課題を追求し,成果を得た.
1本研究の中で,先に明らかにした曲率テンソルと等質性に関わるSingerの無限小等質空間の理論の擬リーマン多様体版を,共形平坦等質ローレンツ多様体の分類問題に適用し,研究を進展させることができた.まだ,分類が完成したわけではないが,リッチ作用素の型によって場合分けを行い,そのすべての場合に例を構成することができた.これらは,リーマン多様体の場合には現れない興味深い多様体であり,その幾何学的特質を明らかにすることも今後の課題である.さらに,リッチ作用素の型の多くの場合に共形平坦等質ローレンツ多様体を決定することができた.これらの結果は,本多恭子との共著論文としてまとめられ投稿予定である.
2.上記の分類に現れる等質ローレンツ多様体の測地的完備性について明らかにすることを動機として,Lie群上の左不変擬リーマン計量の測地的完備性に関する判定条件について調べた.左不変ローレンツ計量が完備になるための応用しやすい形での十分条件を得た.今後,この理論を深め,左不変擬リーマン計量をもつLie群の研究に適用したい.
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