| 研究概要 |
空間M上のホモトピー同値写像全体が作るモノイドの恒等写像連結成分をaut_1(M),また,空間Xの有理コホモロジー環をH*(X)と表す.21年度は,コホモロジーシンプレクテク多様体Mから得られる分類空間Baut_1(M)の特性類である,Kedra-McDuff mu-類の付けに関する研究を進めた.研究遂行のための鍵は一昨年までの研究により,その具体的な形が解明されてきた,モノイドaut_1(M)のBrown-Szczrba写像空間モデルである.結果として,Mが複素射影空間,またはある実Grassmann多様体のようにそめ(有理)コホモロジー環が一つの元で生成される,すなわち単生成の場合に,コホモロジー環H^*((Baut_1(M))はKedra-McDuff mu-類のみで生成されるという事実を得た.mu-類は,先のモノイドが作る普遍ファイブレーションのファイバーに沿う積分により定義されるため,この構造定理はBaut_1(M)のコホモロジー環の全体像を解明したたけではなく,その生成元のより幾何学的な意味を解明したことになる.実際,コホモロジー環が単生成であるGrassmann多様体である場合は,微分同相写像がつくるモノイドおよび,その部分モノイドのc-シンプレクティック類を固定する微分同相写像がつくるモノイドの分類空間に関するmu-類はすべて代数的に独立していることも判明した.この意味でシンプレクティック多様体のトポロジー研究において,写像空間モデルの有用性を示した意義は大きい.
普遍ファイブレーションの全空間のコホモロジー環も重要な研究対象である.実除その環の元はmu-類を作り出す源となっているからである.このコホモロジー環をBrown-Szczrba写像空間モデルとEilenberg-Mooreスペクトル系列を用いてH~*(Baut_1(M))上の代数として生成元を明らかにすすと共にその積による関係式の解明を行った.これはコホモロジー環のスペクトル系列という近似の空間モデルによる近似,すなわち「近似の近似」がうまく仕事をした例といって良いであろう.
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