| 研究概要 |
大著「複素曲線の退化族の幾何学」を完成させた。これにより低次元トポロジー,代数幾何学,特異点論がどのように有機的に関連してリーマン面の退化族と結びついているかがはっきりわかるようになったと思う。具体的には特異点の解消空間の上の正則写像の詳細な研究を行い,さらに臨界集合のまわりのモノドロミーを円周作用を使って記述し,さらに標準射影(特異ファイバーのコアへの正則写像)の描写とその応用を与えた。これらはあくまで局所理論であるが,それらを総合的に統合し大局理論として打ち立てた。
また,特異点を巡回群・2面体群作用で割って得られた 商空間は,特異点をもつがこの特異点がリーマン面の退化族の研究で果たす役割りも解明した。こういう特異点は初めて予期していたような「悪い」特異点ではなく巡回商特異点や全面体商特異点の立場から説明であることがわかった。今後の課題である分裂族のモジュライ空間の構成のうえでこれらの特異点の解消空間の変形空間(いわゆるアルティン成分)上に正則写像を構成することが本質的なので、さらに考察を深めていきたい。また,「複素曲線の退化族の幾何学」はすでにシュプリンガー社から出版した.前作「複素曲線の退化族の分裂変形」と併せて この分野の基本的な,今後必要となる道具を提供すると期待している。
特に,標準射影の方法は分裂族にともなってできる消減サイクルの記述をするために有用な方法であるが,コアの種数が高いときはテータ関数などの特殊関数があらわれ計算が難しいという点があるので改善したい。
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