| 研究概要 |
研究分担者の一人である吉田尚彦氏は藤田玄氏(学習院大学)、古田幹雄氏(東大)との共同研究において、Dirac作用素の指数の局所化がシンプレクティック多様体上のトーラスファイブレーションにおいて消滅することを見出した。特に完全可積分系におけるモーメントマップに対してRiemann-Roch数がBohr-Sommerfeldファイバーと特異ファイバーの周りに局所化されることがわかる。上記の3人は更に共同研究を推し進めてこの局所化の精密化を行い、ファイバーは退化しているが、局所化において指数に寄与しない場合が起こることを示した。具体的な応用として、複素射影空間の線形なトーラス作用に関するモーメントマップにおいてRiemann-Roch数の寄与が整数点の周りに局所化されることがわかる。また、Guillemin-Sternberg予想の別証明なども含めてこれまでも知られている結果に対して、その幾何学的意味がより直接的に理解できるこの手法が進展されることが望まれる。
一方、研究代表者は複素曲面の微分同相類をある特別な場合において数え上げる試みを行っている。村上翔太氏(慶応大学)が修士論文において考察した結果によると井上曲面の微分同相類はSL(3,Z)の共役類と対応している。この共役類は射影空間への作用から理解できることを考察した。
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