| 研究概要 |
鎌田氏によって、4次元空間に埋め込まれた曲面を研究するために、平面上のグラフで表現する手法、chartが定義された。n-Chartは平面上の向きが付いた、各辺に1からn-1までのどれかのラベルが付けられたグラフで、ある条件を満たすものである。頂点は次数1と4と6の3種類あり、次数1の頂点をblack vertexといい、次数4の頂点をcrossingという。chartにはC-moveという変形があり、このchartに対応する曲面のambien tisotopy classを変えない。次数6の頂点を持たないchartに変形できるchartをribbon chartという。今までの研究で、crossingが高々2つであるchartについて調べられている。丁度3つのcrossingを含むchartの例として、2-twist spun knotと呼ばれる曲面を表すchart Gがある。このchartはribbon chartでないものでもある。今回示すことが出来たことは
『crossingが高々3つであるchartに対して、その対応する曲面が球面ならば、
そのchartはGとribbon chartのdisjoint unionである』
ことである。球面を表すn-chartならば、black vertexの数が2n-2であることが知られている。そのためblack vertexの数が少なくとも幾つ必要が調べることがじゅうようであった。特に、chartを円板で切り取ったもので、ラベルの色がm-1,m,m+1のみからなるT-tangleと呼ばれる部分を詳しく調べた。『ラベルがmの部分グラフが木でなく、円板の境界と丁度2点で交わるならば、black vertexの数は2以上である』など色々なminimal chartの性質を調べた。
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