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代数的L理論ホモロジー群から通常のL群へのアセンブリ写像をきちんと定義しやすくするために、ホモロジーの定義を工夫することを考えた。Quinnにより、2種類のex-スペクトラムの構成が提唱されているが、ひとつは小さすぎ、他方は大きすぎる。そこで、その中間的な位置にあるものを導入した。ホモトピー群を取ることによりホモロジー群が定まるが、今回の定義ではホモトピーの元を自然に球面上に並ぶ2次複体たちと考えることができ、アセンブルが行いやすい。さらに、このex-スペクトラムには、標準的な圧搾構造が備わっていることを証明することができた。これを使うことにより、ホモロジー群と通常のL群の間のアセンブリ写像が、制御L群を経由することが直ちにわかる。昔、自分自身で重心細分法による証明を与えたつもりであったが、難点が見つかった。もし、我々の今回定義したホモロジー群がQuinnが二通りの方法で与えたものと一致することを証明できればよいのだが、残念ながらまだそこまで到達していない。また、一点の上でのex-スペクトラム、つまり普通のスペクトラム、の場合、我々の導入したものは、Kanの条件を満たさない。しかし、この特別な場合に、Quinnの2つのものとこれがホモトピー同値であることは証明ができた。また、一般の場合でも自然な写像が今回のものから、Quinnのもののひとつに自然な写像があり、それが1連結であることまで証明できている。これを任意の整数nに対して、n連結になることを証明したいと考えている。
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