| 研究概要 |
(1)前年度までの研究によって,代表者は固有強制公理(PFA)が,(ω_1+1)-作戦的閉と呼ばれる性質をもつ半順序集合による強制法で保たれることを示していた。ここで,半順序集合が(ω_1+1)一作戦的閉であるとは,その上での長さ(ω_1+1)のバナッハ・マズア型ゲームにおいて,後手が各手番でそこまでの棋譜の下限プール値と今何手目かという情報のみに依存するような必勝法をもつときにいう.本年度の代表者の研究により,(ω_1+1)-作戦的閉よりもう少し弱い性質として,後手が各手番で上記に加えてそこまでの棋譜の共終類にも依存した必勝法をもつような半順序集合による強制法でもPFAが保たれることがわかった.これはゲームを用いて定義されるPFAを保存する半順序集合のより包括的な概念の存在とその方向性を示唆する結果であるといえる.
(2)位相空間のコンパクト性を弱めた性質であるリンデレーフ性などいくつかの被覆についての性質が,コーヘン強制,ランダム強制などで保たれる,という岩佐や嘉田の結果に触発され,代表者を含むグループは被覆性質の強制法のもとでの保存性について調べた.その結果,足立が仮定b=ω_1のもとで支配実数の付加により必ずリンデレーフ性が壊れるリンデレーフ空間の例を発見した.さらに代表者はこれを改良してこのような例で正則性をもつものや,パラコンパクト性など他の被覆性質についても同様に支配実数の付加で壊れる例を発見した一方,マーティンの公理の下では,アレフ数が有限でかつ連続濃度より小さい濃度をもつ空間のリンデレーフ性が,可算鎖条件をもつ強制法で保たれることを示した.これらは位相空間の被覆についての性質と基数不変量との関わりについて新たな知見をもたらすものである.
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