| 研究概要 |
研究実施計画の役割分担に従って,下記の研究成果を得た.
1.固体物理の実際の準結晶構造において回転対称性をもつものが特に重要であると考えられている.7回回転対称性をもつDanzerタイリングの局所配置を詳細に調べることにより,不純物のように捉えられる特異な局所配置を唯一箇所にだけ持ち得ることが調べられていたが,これが境界強制性と呼ばれる性質と深く関係していることを示した.
2.グリッドと呼ばれる平行線の族を準周期タイリングよりも広い対象であるパラレログラムタイリングにおいて構成する方法を定式化した.準周期タイリングの代表的な例であるペンローズタイリングではアンマン棒というグリッドが構成されることが知られているが,パラレログラムタイリングとはタイルが平行四辺形であるとい条件だけが課されており,対象を大きく広げている.定式化した方法で得られるグリッドの非周期性から元のタイリングの非周期性が導ける.また,ペンローズタイリングにおいて適用した場合にはグリッドから元のタイリングが復元されることも示された.
3.分子の立体構造を調べるために,n個の環状炭化水素分子の数理モデルを与え,その配置空間のトポロジーを研究した.n=5, 6, 7の場合には多様体の構造をもち,その微分同相型も決定されるが昨年度の証明の不備を修正した.さらに従来の結果を拡張して,n=5, 6, 7, 8の場合に配置空間として球面をもつためのボンドアングルの十分条件を調べた.
4.3次元のタイリングである空間充填について,等面菱形多面体による空間充填の分類問題に取り組み,等面菱形多面体の空間充填不可能な組み合わせを調べ上げ,さらに等面菱形多面体と平行六面体による空間充填を含めて,周期的なタイリングについて,等面菱形多面体が一番密に配置される空間充填を調べた.
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