| 研究概要 |
本年度は,適当な測度付き距離空間上にjump intensityとよばれる核を考え,それにより定義される非局所型作用素と二次形式を考え,そのある関係性を導出する研究を行った.特に,その非局所作用素及び二次形式の定義域に,いつ滑らかな関数属が属するかという,いわゆる正則性問題を考えた.これは,それらに質のよりマルコフ過程が存在するための条件を与えることにもつながり,非常に重要な問題である.これについては,比較的弱い条件をjump intensityに課すことにより導出することが出来る.
一方,同じintensityより定義される非局所作用素と二次形式は同じマルコフ過程を生成するとは限らない.さらに,これらの関係も自明ではない.しかしながら,なんらかの関係性があると,これまでは(直感的には)信じられていたが,実はそれが間違いであることがわかった.
その一方で,非局所作用素に対して,所謂carre du champ作用素と呼ばれるものを考え,それを積分して得られるものが,実は最初に考えていた二次形式と一致することを示すことができた.また,二次形式には生成作用素とよばれるL^2空間上の自己共役作用素が一意に対応することが知られれているが,結果として生成作用素と初めに与えた非局所作用素との関係性副産物として導出することも出来た.これを,安定型核に適用することにより,これまで比較的よく研究されていた対称安定型過程及び(非局所)安定型過程とは本質的に異なる確率過程であることがわかり,さらには安定型過程の'擬双対過程'も構成することができ,一つの核から,安定型過程の双対過程(存在するとして),4つ確率過程が解析的に構成可能であることになる.今後これらの間の関係性について研究を推し進めて行きたい.
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