| 研究概要 |
「有限グラフ上の酔歩の被覆時間」はその概念の単純さにもかかわらず,挙動の詳細な解析についてはほとんどなにも知られていない.たとえば,サイクルを持たないという特殊な幾何を持つ木に限定しても,期待通りの結果を得るどころか計算すら難しいことが従来の研究から分かっている.そこで本研究のテーマは,「グラフのスペクトル幾何」を通して被覆時間を特徴付けようというものであるが,それはいわば,幾何・スペクトル・被覆時間という三者の相関関係の解析といえる.本年度はあえて「木」という幾何構造に限定し,さらに無限木上でのラプラス作用素に有限次元の摂動(有限の台のポテンシャル)を加えた作用素のスペクトル解析に従事した.具体的には,金沢大の小栗栖氏らと1次元格子上での一般のポテンシャル,および東京電機大の安藤氏と正則木上で多少限定されたポテンシャルという舞台で研究を行った.どちらも有限個の孤立固有値のみが生じ,さらにその個数はポテンシャルの台の大きさ(数)でおさえられること,および,その強さや出現鋭敏性とポテンシャルの強さとの詳細な関係が得られた.同時に,サイクルを持つ,という幾何の付加によって,埋蔵固有値の存在やポテンシャルの台の数を上回る数の孤立固有値を持つグラフの構成などに成功した.これらは,困難と思われる一般のグラフ上という舞台でのスペクトル解析のみならず,被覆時間を含むグラフ上の酔歩の挙動の解析に繋がるものと自負をしている.また,従来より懸案課題となっている「定負曲率の無限平面グラフのスペクトル構造の解析」の研究にも従事したが,こちらは現時点ではアイディアの洗い出しにとどまり,スペクトル集合の決定どころかそれらの上界下界の決定すらままならない。とはいえこの種のグラフのスペクトルの決定は,物理を含む各種分野での有用性が確認できたので,アイディアの実装を今後の課題として研究継続していくつもりである.
|
