| 研究概要 |
4年計画の初年度である。目的は非可換調和解析における特異積分作用素の強有界性、とくにp=1のときの理論を構築することである。本年度は非可換調和解析としてヤコビ解析をとりあげた。p=1のときの有界性を得るには実バーディ空間H^1が必要であり、さらに補間理論などを用いるにはそのアトム分解が不可欠となる。この視点から本年度はH^1の基礎理論を構築した。ヤコビ解析におけるアーベル変換を用いることにより、H^1はユークリッド空間における2つのTriebel-Lizorkin空間-等質と非等質の共通部分に移されることが分かった。Triebel-Lizorkin空間はsmoothなアトムによる分解をもつ。この分解をアーベル変換の逆変換で引き戻せばヤコビ解析におけるH^1のアトム分解が期待される。実際、アーベル変換の逆変換は分数微分作用素で与えられ、この微分の階数とアトムのsmoothの階数が一致することが分かり、H^1のアトム分解が構築できた。しかし2つのTriebel-Lizorkin空間の共通部分の引き戻しであるため、あまりきれいな形ではない。そこでH^1の部分空間として等質な部分の引き戻しH^1_0を考えた。このH^1_0はアトム分解をもち、補間理論等において非常に有用である。
L^2との補間をとるとH^P_0を得るが、この空間はL^Pの部分空間となる。次年度においてはこの空間を用いて特異積分作用素の強有界性を調べる。本年度はPoisson核に付随した特異積分作用素としてPoisson最大関数、Littlewood-Paley g-関数、Lusin area関数を取り上げ、その(H^1,L^1)有界性を得ることができた。またヤコビ解析を調べる過程でMiyachi型のHardyの定理の拡張を得ることができた。
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