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(1)野海正俊氏との共同研究により、Koornwinder のq差分作用素に対する核函数を求めることができた。これは、以前に三町氏によって求められたものとは異なるもので、両者はパラメータの取り替え(及び分割の縦横の入れ換え)に関して双対的にふるまう。これらの核函数の応用として、分割が1列もしくは1行の場合のKoornwinder多項式の明示的公式が求められる。より一般の分割に対応するKoornwinder多項式についても、分割やランクなどが特殊な場合についていくつかの明示的公式の予想が得られている。この方向は現在進展していて、多くの超幾何級数の変換公式及び和公式を駆使して一連の予想の公式に証明を与えることが出来るようになってきた。煩雑な計算を必要とするが、一般のKoornwinder多項式に関する明示的公式の構成を目指すことができる。
(2)野海正俊氏との共同研究により、A型のルート系に付随するMacdonald 対称多項式に対して知られている座標変数とスペクトル変数の間の双対性が、Macdonald のq差分作用素の固有函数として定められる多変数超幾何級数の構造から自然に理解されることがわかった。
(3)星野歩氏との共同研究により、A型ないしD型の変形W代数のフュージョン則からマクドナルド対称多項式のタブロー和公式が得られるという数理現象を見いだした。A型の場合には一般の分割に対する多項式が、D型の場合には分割が1行の場合に関して証明を与えることができた。D型の場合の証明は、現在のところ、上記項目(1)の明示公式(の一種)と、様々な超幾何級数の変換・和公式を用いるものである。今後、より一般の分割の場合、もしくは、フュージョン則の内在的な理解などの研究を進める予定である。この方面では、量子アフィン代数の有限次元既約表現およびそれらのテンソル表現の分岐則が関連している。このような量子群の表現論と、Macdonald及びKoornwinder多項式に付随する超幾何級数の関連をより深いレベルで理解することを目指している。
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