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超格子構造とは、江崎玲於奈の提唱による異種半導体の薄膜を積層させて製造される人造の構造物で、量子効果を用いた半導体デバイスの一種である。特定のエネルギーを透過または遮断する特性を持つ量子デバイスであり、透過域には真の透過域と準透過域が生じることが知られているが、その生成の原因は不明で、その制御は難しい問題になっている。
本研究はこの超格子構造を数学的対象ととらえて、その特性を数学的に解析することにある。この問題は、数学的には一次元のシュレーディンガー方程式の逆散乱問題のひとつである。本年度の研究では次のような成果が得られた。
まず、研究協力者である浅倉邦彦らとの検討で、2種類の無限周期超格子に対応する影像インピーダンスを縦続接続した等価回路で変調超格子の準通過域の情報が読み取れること、また摂動項を伴う場合の検討を行い、電子情報通信学会で発表した。
また、純数学的な課題として、デルタ型ポテンシャルによる有限個の点相互作用を伴う一次元シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数の問題を考察した。Albeverioらによる個数の評価の結果を一般の場合に拡張した下からの評価が専門誌に掲載され、さらに固有値の個数と負のポテンシャルの個数が等しくなる必要十分条件をAlbeverioらの結果を含む形で拡張でき、論文を投稿中である。離散シュレーディンガー作用素の場合にはAlbeverioらの結果に相当するものも未知であったが、昭和大学の樋口雄介と共同で計算をすすめて、投稿論文を推敲中である。
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