研究概要 |
量子カオス系のエネルギー準位分布のゆらぎにはランダム行列理論の予言する普遍性があることが知られており,その起源の解明を目標として研究を進めている.具体的には,解析数論におけるRiemann-Siegel公式に対応する公式を用いればこれまで困難であったエネルギー準位相関の振動部分の評価ができることに着目して,相関関数を半古典的な手法により評価した.その結果,任意次数の相関関数について,ランダム行列理論の予言と一致する行列式の形の表式を得ることができた.また,量子系の時間反転対称性が破れるときに準位分布の普遍性クラス間の遷移が生じることに注目して,遷移を記述する相関関数を半古典的に評価した.この場合においても,対応するランダム行列モデルの結果と一致する相関関数の表式が,振動部分まで含めて導かれることが確かめられた.さらに,電子スピンの効果により普遍性クラス間の遷移が生じる場合についても,遷移領域における電気伝導を半古典的に記述することを試みた. インターネットなどのつながり方を記述すると考えられている複雑ネットワークの理論についても,ランダム行列理論の方法を適用することが可能である.特に,ネットワークの隣接行列の固有値分布のゆらぎに量子カオス系の場合と同様の普遍的な性質があることが知られているので,その理由について考察している. 最近,実非対称ランダム行列の複素平面上における固有値分布について,直交多項式を用いた解析法が研究代表者らによって発見されたことなどにより,急速に研究が進展している.この問題についても,対応する直交多項式の一般化などにより,さらにモデルを拡張する方向で検討している.
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