| 研究概要 |
1.3次の非線形項を持つ非線形クラインーゴルドン方程式の最終値問題を研究し,修正波動作用素の存在を示した.その副産物として解の正確な時間減衰評価と漸近的振る舞いを明確にした.非線形クラインーゴルドン方程式の場合,3次の非線形項は臨界冪非線形項と考えられており線形解の近傍で解を見つけることは不可能である.我々は非線形項を,共鳴現象を引き起こす項とそうでない項に分類し,共鳴現象を引き起こす項に対しては,共鳴現象を引き起こす振動数を打ち消すための位相関数を導入した.またそうでない項に対しては部分積分を用いて実際に共鳴項よりも早く時間減衰することを示した.初期値問題に関しては,初期値がコンパクトな台を持つという条件のもとであるが,解の漸近的振る舞いを含めて研究されている.最終値問題に対してコンパクトな台を持つという条件を付ける事ができないことに注意しておく.この結果は国際雑誌J.Math.Phys.,2009において発表されている.
2.2次の非線形項を持つ2次元非線形クラインーゴルドン方程式の波動作用素の存在について研究を行った.この場合,単独の方程式であるので共鳴現象を起こさないことがわかっていることに注意しておく.従来得られている結果に比べ,最終値の滑らかさに関する条件を緩和することに成功した.従来の方法は1985年にShatahによって提唱されたノーマルホームによっていた.我々は片山・砂川によって見つけられた変数変換とStricharz評価と呼ばれるものを用いることによって結果を改良した.この結果は国際雑誌Nonlinear Analysis,2009において発表されている.
|
