研究課題
萌芽研究
結晶成長現象を記述する方程式で最も簡単なものは、結晶成長の法速度Vが結晶方位(法ベクトル)nにのみよる関数M(n)>0に比例する場合である。M(n)が定数の場合はいわゆるホイヘンスの原理で結晶が成長する。一方、結晶成長形にはしばしばファセットと呼ばれる平らな面が現れる。これはMがnによるような異方性を持つ場合、V=M(n)c(c>0定数)に直線部分(平面部分)を持つ自己相似解を持つ場合である。結晶成長学では、cが定数ではなくても、それが定数に近ければファセット面は維持されると考えられているが、数学の枠組みではファセットが崩れず成長するためには、明らかにcは空間方向について定数である必要ある。そこで、この現象を説明するための高さ方向にミクロのスケールを導入し、またミクロの時間での方程式を導出した。この方程式はハミルトン・ヤコビ方程式であるが、ハミルトニアンはいわゆる強圧的ではなく、従来の弱KAM理論は使えず、その時間無限大(マクロ時間ではごく短い時間)については、一般論は無かった。本研究では、このハミルトン・ヤコビ方程式について、解を具体的に構成し、安定なファセットの長さというものを正確に定義した。その結果、ファセットというのはミクロの意味では平らではないが、マクロの意味では平らだと解釈することにより、これまで結晶成長学で直感的に説明されていたものが厳密に説明できるようになった。
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