| 研究概要 |
極小対数的食違い係数の有界性問題を研究した
双有理幾何の一つの出発点である極小モデルの抽出は, Birkar, Cascini, Hacon, McKernanによりフリップの終止性に帰着され, さらにそれはShokurovにより極小対数的食違い係数に関する二予想に帰着される. その二予想どちらの系でもある, 次元を固定したときの係数の上からの有界性は基本的問題で, 私はこの問題にRiemam--Roch定理を用いる特異点の解析手法から取組んだ.
係数の有界性問題は, 簡単にGorenstein端末特異点の場合に帰着される. Riemam--Roch公式の第一項に重複度が現れることを用い, 重複度あるいは埋込次元が抑えられる時に係数の有界性も従うことを示した. これはモチーフ積分論の示唆する, ジェット空間が小さいほど係数は大きい, という主張と関係する.
次いで公式第二項に標準因子との交点数が現れることを用い, 低次元の結果を得た. 具体的には超平面切断を繰返して得られるGorenstein artinian環の解析からもとの特異点の情報を引出した. 結果として, Markushevichによる3次元の係数の有界性を復元し, さらに3次元Gorenstein端末特異点の超平面切断がDu Val特異点を持つと言うReidの結果を, 楕円特異点の性質を用いない簡単な方法で証明した. また4次元特異点については, 超平面切断が端末特異点の性質の断片を有する場合に係数の有界性を導いた.
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