| 研究概要 |
本研究の目的は, 多数保型形式の空間上のヘッケ用素の跡について明示的公式を与えることによって, 保型形式の空間の構造と保型L関数の性質を研究することであった. 特に我々は2次のジーゲルカスプ形式の空間上の明示的跡公式を得ることを目標としている. すでに明示的跡公式の各共役類の寄与は明示的に計算できている. そのため, 今年度は, 明示的跡公式の代数的な側面である各共役類のパラメータ付けおよび, 各共役類の寄与を集めたときに現れる大域的な値を主に研究した. 従来の虚二次体を扱う議論と異なり, 我々の場合は四次のCM体を扱う必要がある. 問題は従来の場合よりも, かなり複雑である. そのため, いきなり一般の場合を扱うことは困難であるため, 我々は作用素をフルモジュラー群にする作用素およびAtkin-Lehner Involutionと呼ばれる作用素の二つに絞って具体的な計算によって研究を進めた. 具体的な計算によって, 従来の明示的次元公式の研究とは異なる現象を確認することができた. 例えは, Ibukiyama氏との共同作業により擬ユニポテント元の大域的な量として清水L関数の特殊値が現れることが判明した. またIbukiyama氏の研究により, 半単純元の大域的な量としてトーラスの類数と呼ばれる類数が現れることも分かった. このようにして, ヘッケ作用素の跡公式に現れる大域的な量と, いくつかの良く知られた不変量の関係が明らかとなった. したがって, 今年度の研究においても, 明示的跡公式を決定することに向けて着実な進展を得ることができた.
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