| 研究概要 |
次数2の実解析的ジーゲル保型形式のフーリエ展開は、大域的Whittaker関数および大域的一般化Whittaker関数(大域的Besse1関数とも呼ばれる)なるもので記述される。特に, 後者の関数の実素点における寄与である実一般化Whittaker関数に関して, その明示的な公式を得ることは, 実解析的ジーゲル保型形式の研究, 中でも保型的L関数の研究において, きわめて重要である。実一般化Whittaker関数は, 大きく「定符号指標」に付随したものと「不定符号指標」に付随したものに分けられる。研究代表者によるこれまでの研究で, 「不定符号指標」に付随したも実一般化Whittaker関数のうち, 大きな離散系列表現を生成するものに関しては, MeijerのG関数なる一般化超幾何方程式の解で表示する公式を得ている。今年度は, さらにこの公式を、これまでの研究で除外していた「大きな離散系列の極限」を生成する場合にも拡張することを考えた。この研究はまだ完成を見ていないが, その過程で, Zuckermannのtensoringと呼ばれる半単純Lie群の標準表現におけるパラメータをずらす手法が, 計算上の有効な手段になりうることを認識した。特に, Zuckermannのtensoringによって, 隣接したパラメータをもつ実一般化Whittaker関数の間に, 微分を含まない関係式を, 少なくとも原理的には導くことができることがわかった。この手法は, 当該研究の主な対象である実一般化Whittaker関数のみならず, 実解析的保型形式と関連する半単純Lie群上の特殊関数の研究において, その組み合わせ論的な複雑さを解析的な複雑さから分離する鍵となることが期待される。
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