| 研究概要 |
概均質ベクトル空間とそのゼータ関数を軸に, 代数的整数論の研究を行っている. 本年度の成果は以下の通り.
1. 2元3次形式のゼータ関数に関する大野-中川の関係式について。大野泰生氏(近畿大学), 若槻聡氏(金沢大学)との共同研究により, 全特殊線形群で不変な任意の格子に対し大野-中川関係式の類似を発見していたが, この証明を簡略化した.その中で, 合同部分群を用いると非常に見通しがよくなることが明らかとなった. この成果は投稿準備中である. またこの成果をもとに, 一般の合同部分群に対し, 不変な格子についてのゼータ関数の研究を進めた.
2. 正標数の大域体上での, 2元3次形式のゼータ関数の明示公式. 大域体が, 有限体上の有理関数体, 及び種数1曲線の代数関数体の場合に, 表題のゼータ関数を留数と関数等式の情報から計算し, 明示公式を得た.
3. 3次拡大の族と関係する概均質ベクトル空間のゼータ関数の性質について. 佐藤-木村の分類により, そのような概均質ベクトル空間は4種類あることが知られている. これらに付随するゼータ関数の類似点がないか調べた。そして, 群を非分裂にするなど, 解析的理論が簡単である場合については, 2番目の極にいくつか共通の性質が現れることを見出した. 具体的にはこれらのゼータ関数は2番目の極において, (1)留数にζ(1/3)の寄与がある(ζ(s)はRiemannのゼータ関数), (2)位数3のDirichlet指標で捻っても極が消えない, の2性質を共有している.
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