| 研究概要 |
Aを滑らかな代数多様体、XをAのQ-Gorenstein正規部分多様体とする。このとき対(A, X)に付随する随伴イデアル層の概念を導入した。これは既存の随伴イデアル層(Xが因子の場合)の自然な拡張になっており、類似の性質が成り立つことを確認した。特にXがGorensteinの場合に、制限定理を証明した。すなわち、DをXの局所完全交叉欠陥イデアル層とすると、(A, X)の随伴イデアル層のXへの制限が(X, D)の乗数イデアル層と一致することを示した。証明は、随伴イデアル層と「因子的」判定イデアルの対応を用いて、正標数の可換環論へと帰着する。XがGorensteinの場合、局所完全交叉欠陥イデアル層Dは、Xの定義イデアル層Iとdirect linkedなイデアル層の和に一致するため、Iの極小自由分解の言葉で記述可能である。Iの極小自由分解とIのFrobbenius冪の極小自由分解を比較することにより、(X, D)の判定イデアルに関する情報が得られる。この証明はXのGorenstein性に依存しているため、一般の場合を証明するには全く別のアイディアが必要になると思われる。
さらに今年度は、正標数の特異点の不変量である、F-跳躍数の離散性・有理性についても研究した。Blickle, Mustata, Smithは、全空間が非特異の場合に、F-跳躍数の離散性・有理性を証明した。私は、Karl Schwede、Wenliang Zhangとの共同研究において、彼らの結果を全空間が特異点を持つ場合に拡張した。
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