研究課題
テンソル代数の拡張とその上の微分作用素に関する最近の研究を、論文"Extensions of the tensor algebra and their applications"としてまとめた。この研究を押し進めて、この代数と微分作用素のq類似を構成したのが、今年度の第一の成果である。この枠組みは一般線型リー環上の量子展開環の表現を調べるのに利用できる。例えば、この量子展開環とIwahori-Hecke代数との双対性も簡潔に証明できる。現在はこれを発展させて量子展開環の表現論や不変式論の研究に活用したいと考えている。もう一つの成果は、最近和地輝仁の発見したカペリ型恒等式に関するものである。この関係式は微分作用素を成分とする奇数個の行列の行列式の積公式と見なせる。この行列(の積)の成分が互いに可換であることは和地自身が発見していたが、より強くこれらの行列成分と可換な微分作用素がすべてこの行列成分から生成されることがわかった。この事実は、和地の関係式の存在をある意味で保証する。すなわち同じタイプの関係式が存在することが、抽象的な議論でこの事実から導ける。通常のカペリ恒等式の背景にdual pairがあるのと同じ意味で、この関係式の背景が明らかになったことになる。同時にこれは行列式以外でもpermanentやimmanantに関して同様のカペリ型恒等式が存在することを保証する。和地のカペリ型恒等式は一般線型群のなすdual pairに付随するが、他のdual pairでも似た関係式が考えられる。この背景・原理を解明すること、概均質ベクトル空間との関係を調べることは今後の課題である。
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"Casimir force, Casimir Operators and the Riemann Hypothesis," Walter de Gruyter Publishing (印刷中)
