| 研究概要 |
今年度は研究課題「表現のモジュライ空間とねじれアレキサンダー不変量に関する研究」のうち, 結び目の持つ幾何学的性質とねじれアレキサンダー不変量の関係ついて考察した. より具体的には, ツイスト結び目と呼ばれている比較的性質の良い結び目の無限系列について, 結び目群のSL(2, C)表現のモジュライ空間の情報から, ツイスト結び目のファイバー性を完全に決定することができるかを詳細に考察した. 以下, 得られた結果について具体的に述べる.
まず, ねじれアレキサンダー不変量がモニック多項式(最高次係数が1)となる結び目群のSL(2, C)表現をモニック表現という. このとき, ツイスト結び目がファイバー結び目でなければ, その結び目群のモニック表現の同値類の個数は有限個であることを示した. 一方で, 任意のファイバー結び目は, 無限個のモニック表現を持つことが知られているので, ツイスト結び目については表現のモジュライ空間の情報から, 結び目のファイバー性を決定できたことになる.
上記結果は, ねじれアレキサンダー不変量の明示公式を利用することで得られており, モニック表現の具体的な個数を評価することも可能である. より一般の結び目群についても, 表現のモジュライ空間の幾何的性質を詳しく調べることによって, 同様の結果が得られることが期待される.
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