| 研究概要 |
曲面の写像類は, pseudo-Anosov(以下pAと略す), reduclbie, periodicの3つのタイプに分類される.
pA写像類の代表的な不変量として次の2つが挙げられる. 1つはpA写像のdilatationとよばれる不変量と, もう1つはpA写像類の写像トーラスの(双曲)体積である. 本研究の目的は, pA写像類の種々の不変量, 特に上で述べたdilatationと体積の間の詳細な関係を明らかにすることである, 本年度に実績は次の2つである. (1)に関する論文は掲載予定である. (2) の論文は投稿予定である.
(1)曲面を固定すると, pA写像類のdilatationと体積の比は, 曲面のトポロジーの型のみで決まる定数で下から押さえることができる. この比をいくらでも大きくするpA写像類の属が存在するのだが, bounded geometry conditionの下では, dilatationと体積の比は上から定数で押さえることができる.
(2)無限個の曲面束構造を許容する3次元双曲多様体を固定する. このとき, 多様体の一つの束構造に対して, ファイバー曲面のモノドロミ-はpA型であり, 従って代表元であるpA写像のdilatationが定まる. 多様体を固定したときに, 束構造ごとに定まるdilatationの集合を, 多様体のdilatation spectrumとよぶことにする.本年度は, 3-chain linkとよばれる3成分をもつ双曲絡み目の補空間に対して, dilatation spectrumを完全に決定することを目標にしていたが, 実際にそれを達成することができた. また, 3-chain linkに対するdilatation spectrumの性質について, 詳細に調べることができた.
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