| 研究概要 |
今年度は昨年度に引き続きフライプと呼ばれる操作を拡張したH-フライプという操作で移り合う閉組み紐の対について調べた。また 結び目フレアーホモロジー群を組み紐群の表現の観点から捉える研究を始めた。
古典的不変量(自己絡み数)だけでは区別できないという性質を持つ横断的結び目の対は3次元多様体上の接触構造の分類と密接に関係しているため接触トポロジーの分野で注目されている。今年度は負符号H-フライプ1回で移り合う閉3-組み紐Kと閉6-組み紐Lで,対応する横断的結び目が次の性質を持つものを構成した。Kから安定化操作3回で得られる横断的結び目K'とLとは古典的不変量と位相的結び目型は同じであるが横断的結び目としては異なる。安定化操作を3回施しても異なる横断的結び目の対は今までに見つかっていない新しいものである。
結び目フレアーホモロジー群はアレキサンダー多項式の拡張の1つとして理解することができ,アレキサンダー多項式は組み紐群のビューラウ表現から定義することができる。今年度はビューラウ表現を拡張することにより得られるアレキサンダー型の多項式から結び目フレアーホモロジー群の情報が得られるかについて調べた。従来のビューラウ表現を(2,1)型と見なすことによりビューラウ表現の拡張を定義し,(3,1)型と(4,2)型の表現を求めた。(3,1)型のビューラウ表現から自然に定義されるアレキサンダー型の多項式は,従来のアレキサンダー多項式と本質的に同じであることが分かった。現在は(4,2)型のビューラウ表現から自然に定義されるアレキサンダー型の多項式は結び目不変量になるか,また結び目フレアーホモロジー群についての情報を持っているかについて調べている。
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