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ゲージ理論のソリトンであるインスタントンとそれを分類する位相不変量であるインスタントン数の非可換変形について得られた研究成果の概要を述べる。
インスタントンとはゲージ理論における曲率2形式の自己双対あるいは反自己双対方程式の解であり、方程式はインスタントン方程式とも呼ばれる。非可換変形とは空間の非可換化を変形量子化の方法で行うことを意味し、具体的にはすべての積をスター積(モヤル積)に置き換えることをさす。空間の非可換変形の影響でインスタントン方程式やその解も変形を受け、その解析が我々の研究の目的である。以下ではゲージ理論を定義するベースの多様体として4次元ユークリッド空間を考え、ゲージ群はユニタリー群とする。
従来までの非可換変形されたインスタントンの理解はADHM構成法と呼ばれるツイスター空間を用いた構成法から得られているものが中心的であり、この方法による解の構成とそれに基づくインスタントン数(第1Pontrjagin数)の解析が進められてきた。その結果多くの非可換インスタントン解が構成され、ADHM構成法によるインスタントン解ではインスタントン数が整数値をとることなどが示されていた。しかし、ADHM構成法を用いて作られる解は一般に可換極限をとることが難しく可換なインスタントンとの対応がわからなかった。
今回我々は非可換パラメータでの形式展開を用いることで、可換なインスタントンから連続的に変形された非可換インスタントン解を構成することに成功した。それを用いてユークリッド空間ではインスタントン数が非可換変形に依存しないことを示すことにも成功した。
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