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ゲージ理論のソリトンであるインスタントンとそれを分類する位相不変量であるインスタントン数の非可換変形について得られた研究成果の概要を述べる。インスタントンとはゲージ理論における曲率2形式の自己双対あるいは反自己双対方程式の解であり、方程式はインスタントン方程式とも呼ばれる。非可換変形とは空間の非可換化を変形量子化の方法で行うことを意味し、具体的にはすべての積をスター積(モヤル積)に置き換えることを指す。空間の非可換変形の影響でインスタントン方程式やその解も変形を受け、その解析が我々の研究の目的である。ここではゲージ理論を定義するベースの多様体として4次元ユークリッド空間を考え、ゲージ群はユニタリー群とする。
21年度では4次元ユークリッド空間上でなめらかな非可換変形を受けたインスタントンを背景としてもつディラック作用素の零モードを求めた。また、その零モードの漸近性を調べることで、ディラック作用素の指数を計算しインスタントン数と一致する事を示した。これは変形前のディラック作用素の指数とも一致している。その非可換変形を受けたインスタントンが背景のグリーン関数も求めた。さらに、これらを用いることにより、非可換インスタントンからADHM方程式を導出することに成功し、それによって滑らかに変形された非可換インスタントンとADHMデータの1対1対応を示す事もできた。これらの研究成果については、ICMPなどの国際会議で報告した。
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