| 研究概要 |
符号理論・マトロイド理論・組合せデザイン理論の各分野において,与えられたパラメータや諸性質を満たす組合せ構造が存在するか否かを考察する存在問題や,存在した場合の相当する構造の構成問題について,自身の代数的符号理論におけるこれまでの研究を軸として,上記の3分野を包括的に研究し,統一的構造の理解を進めることを広義の目標として研究を行った.
本年度においては,当該研究期間の初年度における研究結果の一般化および更なる研究の基盤づくりを目的として,符号と組合せデザインの相互間研究および符号とマトロイドの相互間研究に主に取り組んだ.具体的な研究成果は以下の通りである.
1. 互いの排反な組合せデザインの構成法
量子誤り訂正符号の構成を目標として,前年度に得られたゴレイ符号から構成されるシュタイナー系に対して,各ブロック集合族間に共通なブロック集合が存在しないような置換集合の構成法をPless symmetry符号に拡張することで,幅広い範囲で互いの排反な5-デザインが構成できることを証明した.また,これらのデザインの和集合から新たなパラメータをもつ5-デザインの存在およびその構成法を提案することができた.
2. マトロイドにおける双対性
符号の一般化ハミング重みに関する双対定理を組合せ論的に考察することで,マトロイドをより一般化した離散構造(demi-matoroidという)における双対定理に拡張した.このことで,順序集合をもとに構成されたposet codeにおける一般化ハミング重みの双対定理を導くことができた.
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