| 研究概要 |
符号理論・マトロイド理論・組合せデザイン理論の各分野において,与えられたパラメータや諸性質を満たす組合せ構造が存在するか否かを考察する存在問題や,存在した場合の相当する構造の構成問題について,自身の代数的符号理論におけるこれまでの研究を軸として,上記の3分野を包括的に研究し,統一的構造の理解を進めることを広義の目標として研究を行った.
本年度においては,最終年度に向けた取り組みを意識して,量子符号と組合せデザインの相互間研究および符号とマトロイドの相互間研究に主に取り組んだ.具体的な研究成果は以下の通りである.
1.互いに排反な組合せデザインの応用研究
互いに排反な組合せデザインの応用研究の1つとして,量子ジャンプ符号の構成が考えられる.本研究では,これまでの排反なデザインの研究結果を踏まえて,さらに手法を発展させることで与えられたパラメータに対する量子ジャンプ符号の存在・非存在の検討およびその構成法を提案した.
2.マトロイドのTutte多項式の符号多項式の関連性
マトロイドのTutte多項式やその一般化された多項式について,符号理論で用いられる多項式との関係を解明することで,様々なマトロイドのTutte多項式の形を決定することを目的として研究をおこなった.本研究では,まずマトロイドの概念を拡張して定義したdemi-matoroidに対してTutte型多項式を導入し,demi-matroidの双対性を多項式を用いて表現した.このことと,demi-matroidが有限環上の符号から構成することができる事実を用いて,有限環上の符号に関する重み多項式のマックウィリアムズ型恒等式を組合せ論的に証明することができた.
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