| 研究概要 |
この年度では高連結グラフにおける非分離部分グラフの分割問題に関するThomassen予想の解決に向け,主にグラフの辺の数が局所的に多い構造を分析するのに有用な補題を得ることに焦点を当てて研究を進めた.
より具体的には,「指定した形の部分グラフを指定した個数,頂点を共有しないように含むような構造を得るためにはグラフの各点に接続している辺の数はどのくらいあれば良いか?」という問題について考察し,いきつか特定の部分グラフの存在について最善の次数条件を決定することに成功した.この分野の研究は古くはグラフのマッチングを探す問題とも関連していて極値グラフ理論の中心的話題の一つであることから,連結度の分割問題への応用以外にも幅広い応用が期待出来る.
特に,この年度にDiscrete Mathematicsに出版された上の問題に関する私の論文では,「グラフGの位数をnとし,kを任意に指定した自然数とおくとき,Gにおける非隣接な2頂点のうち片方の次数が(n-k+1)/2以上であれば2つの例外を除いてGはk個の点素な部分グラフに分割出来,各部分グラフはハミルトンサイクルを含むかK_1またはK_2と同型とたる」という定理を得ることが出来た.
この他にも,グラフのなかに指定した個数のサイクルと指定した個数の弦を含むサイクルを得るための次数条件について最善の値を決定した結果を得ることが出来た.また,本研究の目的である非分離部分グラフの存在性に関する研究についても一定の成果が得られており,最近Graphs and Combinatoricsにアクセプトされた論文では,高連結グラフにおいて,取り除いても連結度が1しか下がらないような3点連結部分グラフの存在を強いるための禁止部分グラフの条件について決定することが出来た.次年度はこれまで得られた研究成果をもとに,当該分野の研究をさらに深く推し進める予定である.
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