| 研究概要 |
無限次元タイヒミュラー空間上でのタイヒミュラーモジュラー群に対するニールセン実現問題は,タイヒミュラーモジュラー群の部分群で軌道が有界であるものはタイヒミュラー空間上に共通固定点をもつことが証明されたことにより解決されている.昨年度までの研究では,漸近的タイヒミュラー空間に作用する漸近的タイヒミュラーモジュラー群に対してニールセン実現問題を提唱し,解答を与えた.具体的には,双曲幾何的な有界条件のもと,漸近的タイヒミュラーモジュラー群の有限部分群は漸近的タイヒミュラー空間に共通固定点をもつことを証明した.今年度の研究では,その証明を精密化するとともに,擬等角写像類群の作用をリーマン面の境界にまで拡張し,ロイデン境界の自己同相群に対するニールセン実現問題を提唱した.そして,ロイデン境界上で定義された同相写像で境界の近傍にまで擬等角拡張するものと,それから導かれる漸近的タイヒミュラー空間上の双正則自己写像を考えることにより,この問題の解答を与えた.これらの証明には,漸近的タイヒミュラーモジュラー群の部分群で,漸近的タイヒミュラー空間に自明に作用するものの特徴付けが本質的である.その幾何学的特徴付けはこれまでの研究で既に得られていたが,今年度は,その証明の本質を見極め,直接的な別証明を与えた.
この研究は,無限型リーマン面に対する無限次元タイヒミュラー空間上のモジュラー変換に対する元の分類理論を構築するという目標に向けた軌道の様相の考察の一貫でありこの考察により,タイヒミュラーモジュラー群が安定的に作用するタイヒミュラー空間上の部分領域(これを安定領域という)の幾何学とモジュライ空間の一般位相幾何学が構築される.
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