| 研究概要 |
今年度の研究では、境界つき有理型量子Knizhnik-Zamolodchikov方程式(境界つき有理型qKZ方程式)について考察し、それと整合的で可換な微分作用素の組を構成することに成功した。Felder, Markov, Tarasov, Varchenkoらによって(境界のない)KZ方程式および有理型qKZ方程式と整合的な微分・差分作用素が構成されている。今年度の研究では、van Meer, Stokmanによるbispectral qKZ方程式の構成を手掛りにすることで、境界つきの場合に以下のようにして同様の作用素が得られた。bisectral qKZ方程式は、2重アフィンヘッケ代数を用いて構成される。この方程式を、対応するルート系が(C_n^∨,C_n)型の場合に書き下し、さらに三角型の退化を行うことで、境界つき有理型qKZ方程式、およびそれと整合的な微分方程式が得られる。しかし、このようにして得られた方程式系は、解が値を取る空間が制限されたものであり、量子可積分系の観点からは十分一般的なものとは言えない。そこで、bispectral qKZ方程式の三角型退化を、非自明な修正項を追加することによって拡張し、結果として有理型qKZ方程式と整合的な微分作用素を構成することができた。
この結果により、境界つき有理型qKZ方程式の解空間が、方程式のパラメータにどのように依存するのかを整合的な微分方程式を用いて(たとえば幾何学的な議論により)考察できるのではないかと期待している。境界のない場合には、(q)KZ方程式およびそれと整合的な作用素の間のが(gl_n, gl_k)双対性の枠組みのなかで明らかになっている。今回得られた境界つきの整合的な作用素たちに対しても、表現論的な背景があるものと期待され、それを調べることは興味深い問題であろう。
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