| 研究概要 |
本研究の目的は,結び目を位相幾何学的に捉えたとき,自明な結び目を識別する不変量の構造と関連する不変量について研究を行うことである.本研究では,結び目群G(K)のSL_2(C)-表現の指標集合から構成されるcharacter varietyの断面S_0(K)に注目している.
まず,本年度前半の研究成果として, smallな結び目を含む複雑ではない結び目について, S_0(K)は自明な結び目を識別することがわかった.実際,昨年度までの研究代表者の研究によりS_0(K)は, A-多項式, knot contact homology,3次元球面の2重分岐被覆,メタベリアン表現などとの関連がわかっている.ここでA-多項式が自明な結び目を識別するという結果を用いると, smallな非自明結び目Kに対し,断面S_0(K)は必ず2個以上の点を持つことがわかる.これにより上記の成果が導かれる.
本年度後半では,東京学芸大学の田中心氏との共同研究において, Kronheimer-Mrowka, Jacobsson-Rubinszteinによって独立に行われたSU(2)におけるある考察を, SL_2(C)について検証した.具体的には, smallな結び目のSL_2(C)-表現空間の断面が位相空間として1つの2次元球面といくつかの3次元実射影空間の非交和と同相になるが,特に2橋結び目Kについては,位相空間としてS_0(K)の1次元homologyが簡約Khovanov homologyに同型であることを検証した.これにより2橋結び目についてはdegree 0 abelian knot contact homologyと簡約Khovanov homologyの関係が示唆されることになった.また,このテーマについての研究集会を開催し,断面S_0(K)の研究を深化できたことは,本研究にとって非常に有益であった.
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