| 研究概要 |
本研究の目的は,結び目を位相幾何学的に捉えたとき,自明な結び目を識別する不変量の構造と関連する不変量についての研究を行うことである.本研究では,自明な結び目を識別する結び目群G(K)のSL_2(C)表現の指標集合(character variety)について,trace-free指標が定義する超平面による断面に注目することで,その構造研究を行っている.
まず,本年度前半では,前年度の結果の拡張として,smallな結び目以外に,あるタイプのsatellite結び目についても,既約trace-free表現の存在がわかった.但し,この結果については,より一層の拡張が期待できるため,現在も研究を遂行中である.
また,本年度後半の研究成果として,創価大学の北野晃朗氏と秋田大学の鈴木正明氏らによって活発に研究されている『結び目のpartial order』に関して,あるタイプのtwist結び目が極小元であることを決定付けた.これは,代表者の以前の研究におけるtwist結び目に対するcharacter varietyの定義多項式のChebyshev polynomial表示から得られるものである.この表示は,colored Jones polynomialとA-polynomialを結び付けるAJ-予想のtwist結び目に関する別証明を与える非常に重要なものになっているが,この別証明について国際研究集会『The sixth East Asian School of Knotsand Related topics』で講演を行った後,広島大学の作間誠氏から結び目のpartial orderに関する応用についてのコメントを頂き,代表者が研究を行なった結果,得られたものである.この意味でも,国際研究集会での講演は,非常に意味のあるものであったということが出来る.
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