| 研究実績の概要 |
様々な非線形放物型方程式において, 対応する常微分方程式系の解の様に振る舞う解(ODE 型解)の時間大域挙動を調べた. 特に, (1) 同じ拡散係数をもつ弱連立非線形放物型方程式系における ODE 型解 (2) 多孔質媒体方程式におけるODE 型解の漸近挙動について研究を行った.
(1) 同じ拡散係数をもつ弱連立非線形放物型方程式系における ODE 型解：ODE 解の挙動によって誘発されるある変換によって導かれる方程式系はある弱連立特有の特別な構造を持ち, その構造とスカラー方程式の解の高次漸近展開理論を用いて ODE 型解の漸近挙動はある熱方程式の解を用いて表現できることを示した. 結果として同じ拡散係数をもつ弱連立非線形放物型方程式系の ODE 型解は単独方程式とは異なるシステム特有の漸近挙動をもつことが明らかになった.
(2) 多孔質媒体方程式における ODE 型解：多孔質媒体方程式における解の漸近展開は Barenblatt 解と呼ばれる自己相似解を用いて記述されるのがほとんどであり, さらに, 第一漸近形を求めるところで漸近解析を終えることが大半である. 本研究では, ODE型解の特徴を用いて非線形拡散項を時間のみに依存する拡散係数を持つ線形拡散項によって近似し高次漸近解析を行った．これにより, 既存の研究結果とは全く異なる描像を持つ高次漸近挙動が得られ, それらの主要項がある特殊な時間スケールを持つ熱方程式の解として表現されることが明らかになった．
(1), (2) 共に, 3次のオーダーまでの漸近展開を行っており, これらの理論は, 必要に応じて, 時間大域的に解の凹凸まで調べることが可能となっている.
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