| 研究課題/領域番号 |
20H00119
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
|
|---|
| 研究分担者 |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| キーワード | パーシステントホモロジー / 両側シューベルト分解 |
|---|
| 研究実績の概要 |
再繰越研究に相当する本テーマではおもにパーシステントホモロジーのシューベルト分解について、その代数的および組み合わせ論的研究を実施した。主にWilliam Fultonによる1991年の論文「FLAGS, SCHUBERT POLYNOMIALS, DEGENERACY LOCI, AND DETERMINANTAL FORMULAS」を中心に両側シューベルト分解の参考文献の調査、およびそれらの方法論をパーシステントホモロジーに適用する研究を実施した。その結果、両側分解を適用した場合においても、片側分解の時と同様にパーシステント図とシューベルト胞体が対応することが明らかになった。これはパーシステント図のバーコード表示を対称群の元とみなす対応関係によって自然に得られる結果となっている。
また上記旗多様体としての分解論をパーシステントホモロジーの文脈に当てはめる際の圏論的枠組みを強化する取り組みも行なった。パーシステントホモロジーのシューベルト分解を調べる際、まずパーシステントホモロジーの極小自由分解に現れる準同型写像から一般線形群の元を確定させて、そこから該当するシューベルト胞体を調べることになる。これまでの議論では最初に考察するパーシステントホモロジーのクラスの指定が曖昧であったが、今年度の研究により圏論的設定としてこれらを明確化させることに部分的に成功した。
一方でシューベルト多項式といった代数的・組み合わせ論的対象をパーシステントホモロジーの文脈で理解し、そのデータ解析的意味づけを与えていくことが重要であることが研究活動を通じて明らかになった。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍によって一部議論が停滞していた時期もあったが、2020年度再繰越分の研究課題については今年度は十分な研究活動が実施できた。研究分担者との議論や外部研究者との議論も計画通り実施でき、該当するテーマであるパーシステントホモロジーの代数的・組み合わせ論的側面の理解をさらに深めることができた。研究実績の概要で記載した内容については概ね計画通り進んでおり、最終年度に向けた準備をしっかり整わすことができた。一方でシューベルトカリキュラスについては、これまでの研究活動で徐々に準備は進んでいるものの、さらなるアイディアが必要になるものと思われる。こちらについては最終年度に研究分担者との議論や外部研究者の招聘などを通じて、加速させていく予定である。またシューベルト多項式といった代数的・組み合わせ論的対象のパーシステントホモロジーにおける意味づけを考える重要性については、今年度の研究を通じて明らかになり、最終年度に深く検討を進めていく予定である。
|
| 今後の研究の推進方策 |
これまでの３年間を通じて、パーシステントホモロジーの旗多様体としての分解構造は極めて深く理解できた。残った課題としてはシューベルトカリキュラスで利用可能となる積構造のデータ解析的意味づけを与え、かつそれを材料科学を中心とする具体的課題に応用することが挙げられる。シューベルトカリキュラスにおいて積をとることはブリュワー順序の変化を伴うが、これがパーシステント図としての変化、さらにしいては対応するデータ構造としての変化にどのように寄与するかを検討することが重要になってくると思われる。そのために、パーシステント図の逆解析や導来圏上での扱いといった、本研究課題以前に行なっていた研究成果を動員する必要があると思われる。よって研究分担者との議論に加えて、これら関連する外部研究者を多く招聘し、議論の機会を増やしながら研究を実施する予定である。また本課題の研究活動の成果として、確率論的な成果として大数の法則、中心極限定理、大偏差原理といった基本的な極限定理の全貌が明らかになった。これら確率論的な結果をシューベルト分解やシューベルトカリキュラスの側面から掘り下げていくことも重要な方向性として残っており、最終年度に取り組む計画にしている。
|
