| 研究課題/領域番号 |
20H01793
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
辻 雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | q接続 / qHiggs加群 / 整p進Hodge理論 / prismatic cohomology / Lubin Tate岩澤理論 |
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| 研究実績の概要 |
Bhatt-Morrow-Scholzeによる整p進Hodge理論の係数理論へのアプローチは，Morrow氏との共同研究で表現論的な視点から導入した相対BKF加群とBhatt-Scholzeが導入したprismatic cohomologyの自然な係数prismatic crystalがある．Morrow氏との共同研究で両者が大域的に圏同値であることが示されており，そのコホモロジーの比較は自然な基本的問題であった．その準備として，δ環上でδ構造と両立するq微分の概念を新たに導入することにより，q-1が非零因子の仮定なしでq接続，q-Higgs場を扱う一般的な手法を構築し，ポワンカレの補題を証明した．これらを用いて，基底環がq-crystalline prism上で定義されている場合に，prismatic crystalとそのコホモロジーの，bounded prismatic envelope上のq-Higgs加群とq-Dolbeault複体を用いた記述を与えることに成功した． 2020年度の研究において，Lubin-Tate岩澤加群の(φ,Γ)加群を用いたSchneider-Venjakobの記述の別構成を与えた際に，Colmezの円分一般化Coleman級数のLubin-Tate類似を得ていた．このLubin-Tate一般化Coleman級数についての一変数明示的相互律の証明を完成させた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Morrow氏と示した相対BKF加群とprismatic crystalの圏同値において対応する二つの係数のコホモロジーが一致するかは自然な重要な問題であった．q-crystalline prism上でprismatic crystalやそのコホモロジーをqHiggs束で記述するというのは自然な問題であったが，具体的なアイデアがなく当初研究予定ではなかった．整p進Simpson対応のBMSの整p進Hodge理論の視点からの研究において理論を整理する過程で，δ構造と両立するq微分の一般論を構築するアイデアを得てこの問題を解決できたことは想定外の進展であった．Colmezの一般化Coleman級数のLubin-Tate版を完成させ一変数ではあるが分岐する体上で一般に明示的相互律の証明を完成させた研究は予定通りである．一方 F解析的crystalline表現の岩澤加群の同じアプローチからの理解については大きな進展は得られなかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
得られたq-crystalline prism上でのprismatic crystalやそのコホモロジーのqHiggs束を用いた記述を用いて，相対BKF加群とそれに対応する(Ainfを基底とする)prismtaic crystalのコホモロジーの比較を完成させる．Lubin-Tate多変数岩澤理論については，F解析的なcrystalline表現の指数写像のVenjakob-Schneiderの岩澤加群の記述の直接構成を用いた記述を研究する．smallとは限らない表現やHiggs束のp進Simpson対応については，研究が思うように進んでいないが，一般化表現が通常の表現と対応する条件を一般化表現のChern類を導入しChern類の言葉でとらえる研究を引き続き行う．
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