作用素環論と関数解析的群論

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20H01806
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 小沢 登高 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60323466)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 解析的群論 / 離散群 / 作用素環論

研究成果の概要

従順性とKazhdanの性質の２つは解析的群論における最も重要な概念である。作用素環に対する群作用の従順性には幾つかのもっともらしい定義が提案されてきたが、鈴木悠平氏との共同研究でそれらがすべて同値であることを示し、応用を与えた。有限生成環 R の基本行列群 EL_d(R) がKazhdanの性質を持つというのは基本定理のひとつである。この定理を非単位的な有限生成環に一般化することの成功した。粗距離空間上の作用素で有限伝播的作用素で近似できるものは擬局所的であるが、その逆も成り立つかというのは四半世紀に亘る未解決問題であった。本研究計画では反例を構成することで、この問題に決着をつけた。

自由記述の分野

作用素環論

研究成果の学術的意義や社会的意義

群作用の従順性は群作用の研究において欠かすことのできない道具である。この理論を整備し、新たな例を与えた鈴木氏との共同研究成果には高い学術的価値がある。基本行列群は重要な研究対象であるが、無数の基本行列群を一斉に扱う際に非単位的な環を扱う必要が出てくる。環が非単位的になることにより、大きな技術的問題が生じるが、それを克服する初めての手法を見出したことの意義は大きい。近似的有限伝播性と擬局所性が同値であるか否かは粗距離空間上の作用素論における最重要未解決問題のひとつであった。確率論的手法による反例の構成は未解決問題を解決するのみならず、さらなる研究領域を切り開く重要な学術的進展である。