| 研究課題/領域番号 |
20H01821
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
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| 研究分担者 |
川越 大輔 京都大学, 情報学研究科, 助教 (30848073)
大石 直也 京都大学, 医学研究科, 特定准教授 (40526878)
吉川 仁 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (90359836)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 逆問題 / エックス線トモグラフィ / 陽電子断層撮影 / 部分観測 / 再構成 / 数値計算 |
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| 研究実績の概要 |
逆問題の代表的な設定であるトモグラフィ（断層撮影法）について，部分観測からの画像再構成のための理論的なアルゴリズムを提案し，それが数値的に実現可能であることを示した．トモグラフィではもちいる信号によって数理モデルが大きく異なるが，医用・産業用に実用化されているエックス線の場合，さらに陽子による粒子線をもちいる陽電子線断層撮影(PET)のふたつのモデルを考察した．前者は媒質中で散乱が無視できる場合，後者は媒質中での散乱が生じる場合であり，このいずれの場合にも再構成を与えた．
トモグラフィは全周観測が前提となって実用化が進んできたが，部分観測の場合の手法の確立も嘱望されてきた．この部分観測の場合は統計的手法での再構成が提案されているが，本研究では数学的に厳密な再構成手法を確立した．また，従来，逆問題での再構成では許容誤差をきめておき，それが満たされるまで計算を繰り返す反復解法も多かったが，本手法はそのような手続きを含まないという意味で直接的な手法であることも特徴である．
またこのアルゴリズムの数値計算をおこない，実際に計算機トモグラフィが可能であることも検証した．特にエックス線を用いる場合には公開されている実測データをもちい，従来の全周観測の場合と同様，充分な精度での再構成画像が得られることも示した．これは同時に，本研究で前提とする観測データが現実で取得可能であることを示すものでもある．また散乱を含む場合には，本研究で確立してきたスキームによる順問題の数値計算結果を入力データとして，そこに人工的な観測誤差を加えて数値的再構成をおこない，誤差のある場合にも数値計算が破綻することなく粒子源を画像として再構成することができた．
また，これらの成果を論文および口頭にて発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
部分再構成からのトモグラフィについて数学解析的な研究と数値的実用性の両面を確立した．一方で，この数値計算結果の信頼性，すなわち数値解析の研究は数値実験を重ねる必要があるが，一定の指針は得られている．これらを勘案して「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず解決すべき課題は，今年度得られた数値計算手法の数学的信頼性の確立である．実用的な画像再構成アルゴリズムを構成したと考えているが，現在は数値実験に留まっている．従来の数値解析の枠組みでは，解の一意性のもとでスキームの安定性を示すことになる．このうち解の一意性は理論的に確立されている．一方で，無条件で自然な位相での安定性は得ることができないことも示されている．この安定性の問題に対する方針としては，正則化法，すなわち今回得られたスキームに人工的な安定化パラメータを導入することが考えられる．また前述の不安定性は定性的な性質であり，画像を構成するという立場からは，定量的な安定性評価が重要と考えられる．実際，数学的には不安定でありながら，誤差を含む場合にも明示的な正則化なしに妥当な画像再構成に成功しており，この両者のギャップの理由や取り扱いを明らかにすることは，逆問題の理論・実用の両面で重要と考えられる．例えば不安定性の「度合」を定量的に評価するような方針が考えられ，そのような指標を考察する．
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| 備考 |
数値計算における丸め誤差の影響を検証する多倍長計算ソフトウエア，および有限要素法のプログラムFreeFEMに関して本研究に関連して開発したプログラムを公開している．
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