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今年度も、引き続き、有限次元多元環の有限生成射影加群圏のGrothendieck群について、考察を行った。最も大きな結果として、Derksen-Feiによる先行研究で提示された、Grothendieck群の元の標準分解に関する問いを、否定的に解決したことが挙げられる。
その問いは、「Grothendieck群の元θが直既約であり自分自身と直和できないとき、θの正の整数倍も必ず同様の性質を満たすか」というものである。上記の性質は、遺伝的多元環などでは成立することが知られているが、一般の多元環では未解決の状況が続いていた。この重要な問いについて、私は反例を発見した。具体的には、Feiの先行研究をもとに、3-Kronecker箙多元環の特定の加群による自明拡大として得られる多元環を考え、ある直既約な元θが自分自身と直和できないにもかかわらず、2θがθと平行でない2つの元に直和分解されることを証明した。これは伊山修氏との共同研究の結果の一つとして、プレプリントを近日更新する予定である。
また、Brustle-Smith-Treffingerによる実数係数Grothendieck群の部屋構造についても、研究を進めた。各2項前準傾複体Uについて、その直既約因子が定める錐の近傍N_Uを、私は以前の研究で具体的に定義した。この近傍は有理多面錐であり、今年度私は、2項前準傾複体と半煉瓦の関係を用いることで、面構造を詳しく調べることができた。具体的には、N_Uの余次元1の各面から、Uの直既約因子への自然な写像を構成した。こちらは上記の伊山修氏との共同研究から派生・分離した研究であるが、大半は私の成果である。
今年度公開できた成果は、既存の研究結果の改訂が中心になってしまったことは、反省点であるが、いずれも重要な結果であり、今後の研究に役立てていきたい。
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