| 研究実績の概要 |
p進群の表現の線形周期に関する研究では, 当初の計画通り, 周期積分を用いてプラサド-タクルー=ビガシュ予想を超尖点表現の場合に帰着させることに成功した. その結果, 剰余標数が2の場合を除いて予想の証明ができた. プラサド-タクルー=ビガシュ予想は, 保型形式の線型周期と保型L関数の特殊値に関する予想の局所類似であり, 本研究は保型形式の線型周期と保型L関数の特殊値の間の明示的な関係式を示す上で重要な役割を果たす.
概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数を用いて保型形式の周期の非消滅性を示す研究では, 当初の計画の目標であった, 保型形式の無限個のトーラス周期の非消滅定理を証明した. さらに, トーラス周期の非消滅定理の精密化として, トーラス周期の密度定理の証明にも成功した. また, トーラス周期と保型L関数の特殊値の関係式を使うと, トーラス周期の密度定理から保型L関数の特殊値の明示的な密度定理が得られることも示した. この密度定理は, 保型L関数の特殊値の密度を, 数値計算で確かめられるほど明示的に与えるものであり, 実際に若槻聡氏と東京都立大学の横山俊一氏との共同研究で数値計算を行い, 公式の精度を確認した. 保型L関数の特殊値の明示的な密度定理は, 多くの整数論研究者によって長らく探求されてきたが, 明示公式の証明に成功したものはこれまでなかった. 本研究では, 概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数に保型形式を組込んだゼータ関数という新しい研究手法を導入することで, 新規の研究領域を切りひらきつつある.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
p進群の表現の線型周期に関する研究では, 目標であったPTB予想の解決に大きく貢献する結果を得ることができ, その成果をアリゾナ大学のハン・ シュエ氏との共著論文として投稿した. これは概ね当初の計画通りと言える. 概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数を用いて保型形式の周期の非消滅性を調べる研究では, 当初の計画より大幅に進展した. 計画段階では, 本年度は概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数の明示式を計算し, 保型形式の無限個の周期の非消滅定理を示すことを目標としていた. この目標は年度前半で達成し, 金沢大学の若槻聡氏との共著論文として投稿した. さらに, ゼータ関数の留数を計算し, 保型形式の周期及び保型L関数の中心値の密度定理まで証明することに成功した. この成果も若槻聡氏との共著論文として投稿した. これは, 予想を超えた進展と言える.
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| 今後の研究の推進方策 |
局所体上の群の表現の線形周期に関する研究では, 実リー群の場合に同様の問題を検討する. p進群の表現の場合と違い, 実リー群の表現ではマッキー理論がそのままの形では使えないため, シュワルツホモロジーの理論を応用して, この問題を回避する.
概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数を用いた保型形式の周期の非消滅性の研究では, いくつかの概均質ベクトル空間に対して同様の手法を適用し, 異なる設定で保型形式の無限個の周期の非消滅定理及び保型形式の周期や保型L関数の特殊値の密度定理を示す. さらに, これらの具体的なケースを通じて, この手法がどのように一般化されうるのか, 理論展開の可能性と定式化のあり方を探る.
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