| 研究実績の概要 |
本研究の目的は, 保型形式の周期と保型L関数の解析的性質の間の関係を明らかにすることであり, 2つの課題に取り組んでいる. 1つ目は周期に関する従来の研究を拡張, 拡充する研究である. 本年度は, 北海道大学の田森好宥氏との共同研究において, アルキメデス局所体上の一般線型群とその内部形式の表現が線型周期を持つための条件を明らかにした. p進体上の一般線型群とその内部形式の表現に対する同様の問題は, プラサド-タクルー=ビガシュ予想(PTB予想)として以前から知られており, これまでの研究でp=2の場合を除いて解決済みであった. p進群の場合の証明ではマッキー理論が重要な役割を果たしたが, アルキメデス局所体上の群では表現空間の位相を考慮に入れる必要があるため, 同様の手法を用いるためには, さらなる工夫が必要である。本研究では, シュワルツホモロジーの理論を使って, この問題を解決することができた.
2つ目の研究課題は, 保型形式の周期の分布に関する研究である. 本年度の研究では, 有理数体上の定値四元数体の代数的保型形式に対して, そのトーラス周期の非消滅と符号変化について考察した. 非消滅に関しては, アイヒラー整環のレベルと代数的保型形式のガロア軌道に関する条件のもとで, 0でないトーラス周期が正の割合存在することを示した. これは, 楕円曲線のL関数の特殊値に関する弱ゴールドフェルト予想の類似と見ることができる. また, 符号変化については, 前年度の研究で示したトーラス周期の平均値公式と, 周期を係数にもつディリクレ級数の解析性を使って, トーラス周期の符号変化が無限回起こることを示した. ここでいうトーラス周期は, 重さ半整数の正則保型形式のフーリエ係数になるので, フーリエ係数の符号変化に関するコーネンの予想の特殊な場合に証明を与えたことになる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
局所体上の群の表現の周期に関する研究では, 北海道大学の田森好宥氏との共同研究において, アルキメデス局所体上の一般線型群とその内部形式の表現が線型周期を持つための条件を明らかにした. この結果は、前年度まで取り組んでいた非アルキメデス局所体上の一般線型群とその内部形式の表現に対するプラサドとタクルー=ビガシュの予想の, アルキメデス局所体における類似である. これは概ね当初の計画通りと言える.
保型形式の周期の分布に関する研究では, 有理数体上の定値四元数体の代数的保型形式に対して、そのトーラス周期の非消滅に関する次の結果を得た. アイヒラー整環のレベルと代数的保型形式のガロア軌道に関する条件のもとで, 0でないトーラス周期が正の割合存在することを示した. これは, 楕円曲線のL関数の特殊値に関する弱ゴールドフェルト予想の類似と見ることができる. また, 前年度までの研究で得られたトーラス周期の平均値公式と, 周期を係数にもつディリクレ級数の解析性を組み合わせることで, トーラス周期の符号変化が無限回起こることを示した. これは, 重さ半整数の正則保型形式のフーリエ係数の符号変化に関するコーネンの予想のある場合を与えている.
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